SISTEMA DE COORDENADAS
El sistema de coordenadas cartesianas en el plano está constituido por dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto “O” al que se le llama “el origen”. Una de las rectas se acostumbra representarla en posición horizontal y se le da el nombre de eje X o eje de las abscisas; a la otra recta, vertical, se le denomina eje Y o eje de las ordenadas, y ambas constituyen los dos ejes de coordenadas rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes.
COORDENADAS RECTANGULARES
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una función, en geometría analítica , o del movimiento o posición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez.
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Este sistema se utiliza 3 ejes de coordenadas perpendiculares entre sí llamados eje x,y,z.
A(Ax,Ay,Az)
Elementos de Longitud
dx,dy,dz
Diferencial de Línea
dl= dx + dy+ dz
Diferencial de superficie
dsX=dy.dz
dsZ=dx.dy
dsY=dx.dz
Diferencial de Volumen
dv= dx.dy.dz
COORDENADAS CILINDRICAS
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto P ), donde:
p: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z , o bien la longitud de la proyección del radio vector sobre el plano xy.
φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje x la proyección del radio vector sobre el plano xy .
Este sistema es una versión en 3 dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
P(Pp,P φ,P
Elementos de Longitud
Dρ
ρd φ
Diferencial de línea
Dl=dρ +ρd φ +dz
Diferencial de Superficie
Dsρ= ρd φ.dz
Ds φ= dρ.dz
DsZ= ρd φ. dρ.
Diferencial de Volumen
Dv=ρ. dρ. d φ.dz
COORDENADAS ESFÉRICAS
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90º a 90º (de -π/2 a π/2radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).
A diferencia del caso anterior, no existe un sistema de coordenadas bidimensionales que puedan ayudarnos a entender las coordenadas esféricas por lo cual nos basaremos en el sistema de coordenadas rectangulares.
Elementos de longitud
dr
rd θ
Diferencial de línea
Dl= dr + rd θ + r sen θ .d φ
Diferencial de Superficie
dS r =r^2 . sen θ .d θ .d φ
dS θ= r .sen θ. d φ
dS φ= r .d r . d θ
Diferencial de Volumen
Dv= r^2 . sen θ .d θ .d φ.dr
Relación con las coordenadas cartesianas
X=ρ. sen θ.cos φ
Y= ρ. sen θ. sen θ
Z= ρ. cos θ
Relación con las coordenadas cilíndricas
Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones:
r= Raiz (x^2+y^2)
Θ=arctan(y/x)
Φ= φ
Y sus inversas:
y= r . sen θ
x=r .cos θ
COMPONENTES UNITARIOS
Ar=Aur
A Φ=Au Φ
Az=AuZ
Ur
|
UΦ
|
Uz
| |
Ux
|
cos θ
|
- sen θ
|
0
|
Uy
|
sen θ
|
cos θ
|
0
|
Uz
|
0
|
0
|
1
|
Ejemplo:
Transforme a coordenadas Rectangulares B(r=4.4 ; θ =-115 ; z=2)
x=
.cos
θ
x=(4.4) (cos -115)
x=-1.86
B(-1.86; -3.92 ; 2)
y=
. sen θ
y=-3.92
Geesela Alban
Gerardo Bayas
