Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma

y' + A(x) y = B(x) yⁿ

Con n es un número real cualquiera y A(x) y B(x) son funciones que sólo dependen de "x" (o pueden ser constantes) se conoce con el nombre de Ecuación de Bernoulli.

Analicemos un poco más en detalle esa ecuación diferencial. Si n = 0 ¿Cómo queda la ecuación?

 ♦ La ecuación queda y' + A(x)y = B(x)

¿Saben identificar qué tipo de ecuación diferencial es?

Correcto. Si n = 1 ¿cómo queda la ecuación diferencial?

 ♦ La ecuación diferencial queda

 ♦ Es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

y' + A(x) y = B(x)

¿Pueden identificar qué tipo de ecuación diferencial es?

 ♦ Si igualamos a cero y sacamos factor común “y”, resulta: y' + [A(x) - B(x)] y = 0

La cual es una ecuación diferencial de variable separable

Muy bien. Consideremos la ecuación diferencial

¿Por qué, ésta ecuación diferencial no es lineal?

 ♦ No es una ecuación diferencial lineal porque la variable dependiente "y" tiene potencia dos, es decir la linealidad se pierde por el término y²

Multipliquen la ecuación diferencial por                                                                                                               

¿Qué resulta?

 ♦ Resulta 

¿Quién es la derivada implícita, respecto de x, de la función y^-1?

 ♦ Es (y^-1)' = -y^-2  y'

Observen nuevamente la ecuación que se obtuvo luego de multiplicar por y^-2 esto es, la ecuación

¿Pueden establecer alguna relación entre los términos involucrados en la ecuación diferencial y la derivada que acabamos de determinar?

 ♦ El primer término de la ecuación diferencial y^-2 y' es igual a la derivada del término y^-1 multiplicada por (-1), es decir, y^-2 y' = - (y^-1)'

Muy bien. Si les dijera que deben realizar un cambio de variable ¿Pueden identificar cuál es?

 ♦ El cambio de variable a realizar es:

v = y ^-1

v´ = -y ^-2 y´

 ♦ Sustituir el cambio de variable en la ecuación diferencial

Así obtenemos

equivalentemente 

 ♦ Resulta una ecuación diferencial lineal de primer orden

¿Qué paso sigue a continuación?

♦ A continuación debemos determinar un factor integrante

 ♦ El factor integrante lo determinamos por medio de la ecuación µ(x) = e^∫A(x)dx  donde

PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN

GENERAL DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

y' + P(x) y = Q(x) yⁿ

(n un número real cualquiera)

1- Multiplique la ecuación por y ^-n ⇒ y ^-n y' + P(x) y ^-n+1 = Q(x)

2- Realice el cambio de variable z = y ^-n+1 ⇒ z' = (-n+1) y ^-n y'

3- Multiplique la ecuación obtenida en el paso 1 por (-n+1) y sustituya el cambio de variable indicado en el paso 2

z' + (-n+1) P(x) z = (-n+1) Q(x)

4- Resuelva la ecuación diferencial de primer orden lineal obtenido en el paso 3

5- Devuelva el cambio de variable

6- De ser posible despeje "y"

Obtenga la solución general de la ecuación diferencial:

y' – y = xy³

Revisemos como resolvieron el Problema 1. ¿La ecuación diferencial dada es

una ecuación de Bernoulli?

♦ Si, pues tiene la forma

y' + A(x)y = B(x) yⁿ

donde A(x) = – 1, B(x) = x, n = 3

Muy bien. ¿Podrían identificar por qué no es una ecuación diferencial lineal?

 ♦ Porque la variable dependiente "y" está elevada al cubo. Es decir, el término y3

es el que hace que se pierda la linealidad de la ecuación diferencial dada.

¿Qué deben hacer a continuación?

 ♦ Debemos multiplicar la ecuación diferencial dada por y^-3. Al hacerlo obtenemos y^-3 y' – y^-2 = x

Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso?

 ♦ El siguiente paso es realizar un cambio de variables

                                          

Exacto. Al sustituir el cambio de variable en la ecuación diferencial ¿Cómo

se transforma?

♦ La ecuación diferencial se transforma en - z' - z = x

¿Qué sugieren hagamos ahora?

 ♦ Debemos multiplicar la ecuación por (-1).

Correcto. ¿Cómo les queda la ecuación diferencial?

 ♦ La ecuación diferencial queda z' + z = -x

¿Saben identificar qué tipo de ecuación diferencial es la que obtuvieron?

 ♦ Es una ecuación diferencial lineal de primer orden

Exactamente. ¿Cómo la resuelven?

 ♦ Buscando un factor integrante µ (x) = e^{∫ A(x)dx}

¿Quién es A (x)?

 ♦ A(x) es el coeficiente de la variable dependiente “y“, es decir, A(x) = 1

¿Quién es entonces, el factor integrante?

 ♦ El factor integrante es µ(x) = e^{∫ A(x)dx} = e^∫dx = e^x

Bien. ¿Qué hacen con el factor integrante?

 ♦ Multiplicar la ecuación diferencial lineal z' + z = - x por µ (x) dx = e^x dx,

resultando e^x dz + e^x z dx = - x e^x dx

Exacto. ¿Qué representa la expresión (e^x dz + e^x xdx )?

♦ La expresión e^x dz + e^x xdx representa la diferencial total del producto

entre el factor integrante y la variable dependiente "z"

d (e^x.z ) = e^x dz + e^x z dx

 Muy bien. Al sustituir este resultado en la última ecuación diferencial que

obtuvimos resulta d (e^x z ) = - x e^x dx

¿Cómo obtienen z, a partir de esta última ecuación?

 ♦ Para obtener "z" basta con integrar la ecuación d (e^x z ) = - x e^x dx

∫ d (e^xz ) = -∫ x e^x dx

¿Que obtienen al resolver ∫ d (e^xz ) ?

♦ Obtenemos ∫ d (e^xz ) = e^x z

Exacto ¿Cómo resuelven ∫ x e^x dx?

♦ La integral ∫ x e^x dx, se resuelve aplicando el método de integración por

partes. Para ello hacemos

   

así:        ∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx = x e^x - e^x

Muy bien. ¿Cuál es entonces el resultado, luego de haber integrado?

 ♦ Luego de integrar tenemos que e^x z = x e^x - e^x + C

¿Es esta la solución de la ecuación diferencial dada?

 ♦ No, falta devolver el cambio de variable, es decir, sustituir z por y^-2 

Correcto. ¿Qué obtienen?