DEFINICIÓN.- Una ecuación diferencial lineal de
primer orden es una expresión que relaciona una variable independiente x con
una variable dependiente y(x) y su primera derivada y´ (x):
Para representar la derivada de y respecto de x usaremos indistintamente las notaciones y´, y´ (x) o dy/dx . Salvo que sea necesario por claridad, en general no expresaremos la dependencia de la variable y respecto de x:
Una solución de una ecuación diferencial de primer orden es una función
que verifica la ecuación en cada punto x ∈ [a, b]. Para que esta definición tenga sentido, es preciso que la función y(x) sea derivable en el intervalo [a, b] y que dicha derivada sea una función continua: se dice entonces que y(x) es de clase C1 ([a, b]).
La solución general de una ecuación diferencial de primer orden es una familia de funciones y = y(x, C) dependiente de un parámetro (o constante arbitraria) C que nos proporciona todas las posibles soluciones de la ecuación diferencial.
1°
Debemos dejar en la forma y´ + P(x)y = Q(x)
donde P(x) y Q(x) son funciones reales:
3° Reemplazamos (y) y (dy/dx) en la
ecuación:
Por ejemplo, son ecuaciones diferenciales lineales de primer orden las siguientes:
Para representar la derivada de y respecto de x usaremos indistintamente las notaciones y´, y´ (x) o dy/dx . Salvo que sea necesario por claridad, en general no expresaremos la dependencia de la variable y respecto de x:
Una solución de una ecuación diferencial de primer orden es una función
y : [a, b] → R
que verifica la ecuación en cada punto x ∈ [a, b]. Para que esta definición tenga sentido, es preciso que la función y(x) sea derivable en el intervalo [a, b] y que dicha derivada sea una función continua: se dice entonces que y(x) es de clase C1 ([a, b]).
La solución general de una ecuación diferencial de primer orden es una familia de funciones y = y(x, C) dependiente de un parámetro (o constante arbitraria) C que nos proporciona todas las posibles soluciones de la ecuación diferencial.
MÉTODO DE RESOLUCIÓN
Ejemplo:
2° Para integrar dicha ecuación utilizamos un artificio o
cambio de variable y= u*z en donde "z" y "u" son funciones
de "x" que debe determinarse:
4°
Agrupamos factor común z:
5°
Igualamos el coeficiente de z a 0 para el cálculo de u:
6° Integramos dicha ecuación para encontrar el valor de u:
7°
Empleamos el valor de u en el resto de la ecuación para hallar el valor de z:
8° Reemplazamos los valores de u y z en el artificio para
hallar la solución del ejercicio:
-
Pasos para la
resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
I. Verificar si la ecuación es de la forma y´ + P(x)y = Q(x).
II. Utilizar un artificio matemático o cambio de variable y = u*z.
III. Derivar esta nueva variable con respecto a dx.
II. Utilizar un artificio matemático o cambio de variable y = u*z.
III. Derivar esta nueva variable con respecto a dx.
IV. Reemplazar estos valores en la ecuación dada.
V. Agrupar factor común z e igualar a 0 su coeficiente para hallar el valor de u.
VI. Integrar dicha ecuación de variables separadas para encontrar el valor de u.
VII. Emplear el valor de u en el resto de la ecuación antes reemplazada.
VIII. Integrar dicha ecuación para hallar el valor de z.
IX. Reemplazar los valores de u y z en el artificio y = u*z para encontrar la solución del ejercicio.
