ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

Ecuaciones Diferenciaes Lineales de Orden Superior

Ecuación de Bernoulli by Diego Bonilla

CAMPO VECTORIAL

Sean   funciones escalares de las variables   definidas en una región Ω  de . La función   tal que  ) se llama Campo Vectorial sobre Ω.

Si    se lo denota como .

Si    se lo denota como:

Sea f una función escalar y   un campo vectorial.

Los campos debemos entender el electromagnetismo,  la óptica, o ramas más avanzadas de la física como la gravitación o la mecánica cuántica.

Los  con campos escalares, (o función escalar) es una función cuyo dominio son puntos del plano o del espacio, y su conjunto imagen es un escalar. Un campo vectorial en cambio, es una función  que asocia a cada punto del plano o del espacio un vector.

Un ejemplo de campo escalar  sería la presión atmosférica sobre la tierra, que si la designamos con la letra P, tenemos una función de tres variables P(x,y,z).  Para cada punto geográfico (identificado con una longitud, latitud y altitud) existe un valor numérico de la presión expresado en Pascales. En cambio, un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento. Otros ejemplos de campos vectoriales:

1.    Campo de velocidades de una rueda que gira alrededor de un eje.

2.    Campo de velocidades de un fluido dentro de un tubo.

3.    Campos eléctricos.

4.    Campos magnéticos

5.     

Por ejemplo

·         La temperatura de una piscina es un campo escalar

·         La velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.

DISTRIBUCION ESPACIAL DE MAGNITUD VECTORIAL

Representa con un conjunto de líneas que representan una trayectoria marcada. A esto se lo llama Líneas de Fuerza

CIRCULACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL (X, Y, Z ).

Es una trayectoria cerrada, sumatoria de las componentes de campo tangenciales.

Existe un Campo de Vectores (X, Y, Z ), se define la circulación de a lo largo de una curva  del campo, entre los puntos A y B como:

GRADIENTE

Es un campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente.

Ejemplo:

Un mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar.

DIVERGENCIA

Es el flujo de salida por unidad de volumen través de una superficie cerrada.

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

*

El símbolo  representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros.

EJEMPLO:

Las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.

ROTACIONAL

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto, se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto.

S es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo que es un vector, sino solo su componente según la dirección normal a S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo se debe calcular tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren.

Propiedades

•  Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (f) =0

•  Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0

•  Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

Ejemplo:

El campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta.

LAPLACIANO

La divergencia del gradiente de una función escalar se llama Laplaciano. En coordenadas rectangulares:

     

El operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.

Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado () para representarlo. Si , son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:

EJEMPLO:

Las relaciones entre el potencial eléctrico y la densidad de carga. Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta.

CARACTERISTICAS DEL CAMPO VECTORIAL

a) Univaluados.‐ El valor de la magnitud  vectorial asignada a cada punto es única.

b) Acotados.‐ Existe un número tal que la magnitud del campo es menor.

c) Contínuos.‐ Los valores del Campo en un punto son independientes de la dirección por la que nos acerquemos y coincide con el valor del campo en el punto.

d) Lineales.‐ Los vectores que constituyen un campo de dimensión n, se pueden        expresar como combinación lineal de n vectores.

e) Diferenciables.