Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma

y' + A(x) y = B(x) yⁿ

Con n es un número real cualquiera y A(x) y B(x) son funciones que sólo dependen de "x" (o pueden ser constantes) se conoce con el nombre de Ecuación de Bernoulli.

Analicemos un poco más en detalle esa ecuación diferencial. Si n = 0 ¿Cómo queda la ecuación?

 ♦ La ecuación queda y' + A(x)y = B(x)

¿Saben identificar qué tipo de ecuación diferencial es?

Correcto. Si n = 1 ¿cómo queda la ecuación diferencial?

 ♦ La ecuación diferencial queda

 ♦ Es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

y' + A(x) y = B(x)

¿Pueden identificar qué tipo de ecuación diferencial es?

 ♦ Si igualamos a cero y sacamos factor común “y”, resulta: y' + [A(x) - B(x)] y = 0

La cual es una ecuación diferencial de variable separable

Muy bien. Consideremos la ecuación diferencial

¿Por qué, ésta ecuación diferencial no es lineal?

 ♦ No es una ecuación diferencial lineal porque la variable dependiente "y" tiene potencia dos, es decir la linealidad se pierde por el término y²

Multipliquen la ecuación diferencial por                                                                                                               

¿Qué resulta?

 ♦ Resulta 

¿Quién es la derivada implícita, respecto de x, de la función y^-1?

 ♦ Es (y^-1)' = -y^-2  y'

Observen nuevamente la ecuación que se obtuvo luego de multiplicar por y^-2 esto es, la ecuación

¿Pueden establecer alguna relación entre los términos involucrados en la ecuación diferencial y la derivada que acabamos de determinar?

 ♦ El primer término de la ecuación diferencial y^-2 y' es igual a la derivada del término y^-1 multiplicada por (-1), es decir, y^-2 y' = - (y^-1)'

Muy bien. Si les dijera que deben realizar un cambio de variable ¿Pueden identificar cuál es?

 ♦ El cambio de variable a realizar es:

v = y ^-1

v´ = -y ^-2 y´

 ♦ Sustituir el cambio de variable en la ecuación diferencial

Así obtenemos

equivalentemente 

 ♦ Resulta una ecuación diferencial lineal de primer orden

¿Qué paso sigue a continuación?

♦ A continuación debemos determinar un factor integrante

 ♦ El factor integrante lo determinamos por medio de la ecuación µ(x) = e^∫A(x)dx  donde

PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN

GENERAL DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

y' + P(x) y = Q(x) yⁿ

(n un número real cualquiera)

1- Multiplique la ecuación por y ^-n ⇒ y ^-n y' + P(x) y ^-n+1 = Q(x)

2- Realice el cambio de variable z = y ^-n+1 ⇒ z' = (-n+1) y ^-n y'

3- Multiplique la ecuación obtenida en el paso 1 por (-n+1) y sustituya el cambio de variable indicado en el paso 2

z' + (-n+1) P(x) z = (-n+1) Q(x)

4- Resuelva la ecuación diferencial de primer orden lineal obtenido en el paso 3

5- Devuelva el cambio de variable

6- De ser posible despeje "y"

Obtenga la solución general de la ecuación diferencial:

y' – y = xy³

Revisemos como resolvieron el Problema 1. ¿La ecuación diferencial dada es

una ecuación de Bernoulli?

♦ Si, pues tiene la forma

y' + A(x)y = B(x) yⁿ

donde A(x) = – 1, B(x) = x, n = 3

Muy bien. ¿Podrían identificar por qué no es una ecuación diferencial lineal?

 ♦ Porque la variable dependiente "y" está elevada al cubo. Es decir, el término y3

es el que hace que se pierda la linealidad de la ecuación diferencial dada.

¿Qué deben hacer a continuación?

 ♦ Debemos multiplicar la ecuación diferencial dada por y^-3. Al hacerlo obtenemos y^-3 y' – y^-2 = x

Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso?

 ♦ El siguiente paso es realizar un cambio de variables

                                          

Exacto. Al sustituir el cambio de variable en la ecuación diferencial ¿Cómo

se transforma?

♦ La ecuación diferencial se transforma en - z' - z = x

¿Qué sugieren hagamos ahora?

 ♦ Debemos multiplicar la ecuación por (-1).

Correcto. ¿Cómo les queda la ecuación diferencial?

 ♦ La ecuación diferencial queda z' + z = -x

¿Saben identificar qué tipo de ecuación diferencial es la que obtuvieron?

 ♦ Es una ecuación diferencial lineal de primer orden

Exactamente. ¿Cómo la resuelven?

 ♦ Buscando un factor integrante µ (x) = e^{∫ A(x)dx}

¿Quién es A (x)?

 ♦ A(x) es el coeficiente de la variable dependiente “y“, es decir, A(x) = 1

¿Quién es entonces, el factor integrante?

 ♦ El factor integrante es µ(x) = e^{∫ A(x)dx} = e^∫dx = e^x

Bien. ¿Qué hacen con el factor integrante?

 ♦ Multiplicar la ecuación diferencial lineal z' + z = - x por µ (x) dx = e^x dx,

resultando e^x dz + e^x z dx = - x e^x dx

Exacto. ¿Qué representa la expresión (e^x dz + e^x xdx )?

♦ La expresión e^x dz + e^x xdx representa la diferencial total del producto

entre el factor integrante y la variable dependiente "z"

d (e^x.z ) = e^x dz + e^x z dx

 Muy bien. Al sustituir este resultado en la última ecuación diferencial que

obtuvimos resulta d (e^x z ) = - x e^x dx

¿Cómo obtienen z, a partir de esta última ecuación?

 ♦ Para obtener "z" basta con integrar la ecuación d (e^x z ) = - x e^x dx

∫ d (e^xz ) = -∫ x e^x dx

¿Que obtienen al resolver ∫ d (e^xz ) ?

♦ Obtenemos ∫ d (e^xz ) = e^x z

Exacto ¿Cómo resuelven ∫ x e^x dx?

♦ La integral ∫ x e^x dx, se resuelve aplicando el método de integración por

partes. Para ello hacemos

   

así:        ∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx = x e^x - e^x

Muy bien. ¿Cuál es entonces el resultado, luego de haber integrado?

 ♦ Luego de integrar tenemos que e^x z = x e^x - e^x + C

¿Es esta la solución de la ecuación diferencial dada?

 ♦ No, falta devolver el cambio de variable, es decir, sustituir z por y^-2 

Correcto. ¿Qué obtienen?

Sistema de Coordenadas-Geesela Alban Gerardo Bayas

SISTEMA DE COORDENADAS

El sistema de coordenadas cartesianas en el plano está constituido por dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto “O” al que se le llama “el origen”. Una de las rectas se acostumbra representarla en posición horizontal y se le da el nombre de eje X o eje de las abscisas; a la otra recta, vertical, se le denomina eje Y o eje de las ordenadas, y ambas constituyen los dos ejes de coordenadas rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes.

  

      COORDENADAS RECTANGULARES

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una función, en geometría analítica , o del movimiento o posición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez.

Este sistema se utiliza 3 ejes de coordenadas perpendiculares entre sí llamados eje x,y,z.

A(Ax,Ay,Az)

Elementos de Longitud

dx,dy,dz

Diferencial de Línea

dl= dx + dy+ dz

Diferencial de superficie

dsX=dy.dz

dsZ=dx.dy

dsY=dx.dz

Diferencial de Volumen

dv= dx.dy.dz

      COORDENADAS CILINDRICAS

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto  P  en coordenadas cilíndricas se representa por (p,φ, ), donde:

p: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P  al eje z , o bien la longitud de la proyección del radio vector sobre el plano xy.

φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje  x la proyección del radio vector sobre el plano xy  .

z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano  xy

Este sistema  es una versión en 3 dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

P(Pp,P φ,P )

Elementos de Longitud

Dρ

ρd φ

Diferencial de línea

Dl=dρ +ρd φ +dz

Diferencial de Superficie

Dsρ= ρd φ.dz

Ds φ= dρ.dz

DsZ= ρd φ. dρ.

Diferencial de Volumen

Dv=ρ. dρ. d φ.dz

      COORDENADAS ESFÉRICAS

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio  , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90º a 90º (de -π/2 a π/2radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

A diferencia del caso anterior, no existe un sistema de coordenadas bidimensionales que puedan ayudarnos a entender las coordenadas esféricas por lo cual nos basaremos en el sistema de coordenadas rectangulares.

Elementos de longitud

dr

rd θ

rsen θ .d φ

Diferencial de línea

Dl= dr + rd θ + rsen θ .d φ

Diferencial de Superficie

dS r=r^2 . sen θ .d θ .d φ

dS θ= r.dr .sen θ. d φ

dS φ= r.d r. d θ

Diferencial de Volumen

Dv= r^2 . sen θ .d θ .d φ.dr

Relación con las coordenadas cartesianas

X=ρ. sen θ.cos φ

Y= ρ. sen θ. sen θ

Z= ρ. cos θ

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones:

  r= Raiz (x^2+y^2)

Θ=arctan(y/x)

Φ= φ

 Y sus inversas:

      y= r. sen θ

x=r .cos θ

COMPONENTES UNITARIOS

Ar=Aur

A Φ=Au Φ

Az=AuZ

	Ur	UΦ	Uz
Ux	cos θ	- sen θ	0
Uy	sen θ	cos θ	0
Uz	0	0	1

Ejemplo:

Transforme a coordenadas Rectangulares B(r=4.4 ; θ =-115 ; z=2)

           x= .cos θ

           x=(4.4) (cos -115)

           x=-1.86

                                                                            B(-1.86; -3.92 ; 2)

    y= . sen θ

    y=-3.92

Geesela Alban

Gerardo Bayas